Question

【题目】已知函数的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭.

（1）分别判断函数， 在上是否封闭，说明理由；

（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；

（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足 ，其中（），，证明：存在的真子集，

，使得在所有（）上封闭.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：(1)根据在上封闭的定义，分别求出函数， 在上的值域，即可判断是否封闭；（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到： .从而问题转化为： 在两不等实根．（3）分两种情况： 和，第一种情况显然不成立，第二种情况，因为是单射，因此取一个，则是唯一的使得的根，换句话说考虑到，即，因为是单射，则这样就有了.接着令，并重复上述论证证明..

试题解析：

（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），

所以在上不封闭.

在上封闭

（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，

得到： .

在单调递增.

则 在两不等实根．

，

故，解得．

另解： 在两不等实根．令

在有两个不等根，画图，由数形结合可知，

解得．

（3）如果，则，与题干矛盾.

因此，取，则.

接下来证明，因为是单射，因此取一个，

则是唯一的使得的根，换句话说

考虑到，即，

因为是单射，则

这样就有了.

接着令，并重复上述论证证明..