题目内容
【题目】如图,已知定圆,定直线
,过
的一条动直线
与直线相交于
,与圆
相交于
,
两点,
是
中点.
(Ⅰ)当与
垂直时,求证:
过圆心
;
(Ⅱ)当时,求直线
的方程;
(Ⅲ)设,试问
是否为定值,若为定值,请求出
的值;若不为定值,请说明理由.
【答案】(I)证明见解析;(II)或
;(III)
的值为定值
.
【解析】
试题分析:(I)由已知,故
,所以直线
的方程为
,即可证明;(II)当直线
与
轴垂直时,易知
符合题意;当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求解;(III)当
与
轴垂直时,易得
,
,求得
;当
的斜率存在时,设直线
的方程为
,代入圆的方程,利用根与系数的关系,化简即可求解定值.
试题解析:(Ⅰ)由已知,故
,所以直线
的方程为
.
将圆心代入方程易知
过圆心
.
(Ⅱ)当直线与
轴垂直时,易知
符合题意;
当直线与轴不垂直时,设直线
的方程为
,由于
,
所以,由
,解得
.
故直线的方程为
或
.
(Ⅲ)当与
轴垂直时,易得
,
,又
,则
,
,故
,即
.
当的斜率存在时,设直线
的方程为
,代入圆的方程得
,则
.
,即
,
.又由
得
,
则.
故,
综上,的值为定值,且
.
另解一:连结,延长交
于点
,由(Ⅰ)知
,又
于
,
故.于是有
.
由,
,得
.
故.
另解二:连结并延长交直线
于点
,连结
,
,由(Ⅰ)知
,又
,
所以四点都在以
为直径的圆上,由相交弦定理得
.
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