Question

设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁且斜率为k的直线交椭圆于A、B，且，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）一个顶点为，即a=，离心率为，可得c=1，再由a²=b²+c²，可得b=1，从而的椭圆方程
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线AB的方程为 y=k（x+1）代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，从而得x₁+x₂、x₁x₂、y₁+y₂，而即，代入可得方程，解之即得k值
解答：解：（I）由已知得，解得a=，c=1
∴b==1
∴所求椭圆的方程为          
（II）由（I）得F₁（-1，0），F₂（1，0）
直线AB的方程为 y=k（x+1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=，
又∵
∴
∴代入x₁+x₂与y₁+y₂的值
化简得40k⁴-23k²-17=0
解得k²=1或k²=（舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1
点评：本题考察了椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的关系，解题时要特别体会韦达定理在解题中的重要作用，设而不求的解题思想