Question

在四棱锥V—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.

(1)证明AB⊥平面VAD.

(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.

Answer 1

证明：(1)作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD.建立下图所示空间直角坐标系,并设正方形边长为1,则A(,0,0),B(,1,0),C(-,1,0),D(-,0,0),V(0,0,),

∴=(0,1,0),=(-1,0,0),=(-,0,).

由·=(0,1,0)·(1,0,0)=0⊥,·=(0,1,0)·(-,0, )=0

⊥.

    又AB∩AV=A,∴AB⊥平面VAD.

(2)由(1)得=(0,1,0)是面VAD的法向量,设n=(1,y,z)是面VDB的法向量,则

∴cos〈,n〉=.

    又由题意知面VAD与面VDB所成的二面角,所以其大小为arccos.