Question

【题目】已知函数(为实常数)．

（1）当时，作出的图象，并写出它的单调递增区间；

（2）设在区间的最小值为，求的表达式；

（3）已知函数在的情况下：其在区间单调递减，在区间单调递增.设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）图象见解析；单调递增区间；（2）；（3）

【解析】

（1）将二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方即可得到所求函数的图象，结合图象可写出单调递增区间；

（2）根据二次函数对称轴为，分别讨论，和三种情况，结合二次函数性质可得到三种情况下的最小值，进而得到；

（3）当时，可知为增函数，满足题意；当时，由已知所给函数的单调性可得单调性，进而构造不等式求得的范围；综合两种情况可得最终结果.

（1）当时，，则图象如下图所示：

由图象可知：的单调递增区间为

（2）当，即时，

当，即时，

当，即时，

综上所述：

（3）由题意得：

当，即时，在上单调递增，符合题意；

当，即时，在单调递减，在单调递增

，解得：

综上所述：实数的取值范围为