Question

（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知动圆过点，且被轴所截得的弦长为4.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹的方程;

(Ⅱ) 过点分别作斜率为的两条直线，交于两点(点异于点),若，且直线与圆相切，求△的面积.

Answer 1

（1），（2），

【解析】

试题分析：首先设动圆圆心为，半径为r，利用动圆过点（2，0）列出一式，再根据动圆被轴所截得的弦长为4（半弦，半径，弦心距满足勾股定理）列出一式，两式相减消去r,得圆心轨迹方程为一条抛物线；第二步由于，可设的斜率为k,则的斜率为-k,用点斜式写出直线方程，把直线方程与抛物线方程联立，消去x,得关于y的一元二次方程，由根与系数关系，一根为，求出另一根，代入直线方程求出，同理联立另一方程组，用同样的方法求出另一点坐标，求出AB的斜率k=-1, 用斜截式设出AB的方程，借助直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，求出直线的截距，最后求出三角形的面积；

试题解析：(Ⅰ) 设动圆圆心坐标为，半径为，由题可知；

动圆圆心的轨迹方程为

(Ⅱ) 设直线斜率为,则点P（1,2）在抛物线上

设,恒成立，即有

代入直线方程可得

同理可得 ，

不妨设.因为直线与圆相切，所以解得或,

当时, 直线过点,舍

当时, 由；

到直线的距离为，△的面积为.

考点：1.求轨迹方程；2.直线与抛物线；