Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°，则离心率的最小值是______．

Answer 1

设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得 x

21

=

4c2-3a2

e2

，∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤

4c2-3a2

e2

＜a²，
即4c²-a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

1

2

．
故椭圆离心率的取范围是 e∈[

1

2

，1）．
故答案为：

1

2