Question

列?x∈R，不等式log₂（4-a）≤|x+3|+|x-1|成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据不等式log₂（4-a）≤|x+3|+|x-1|成立，只需求出y=|x+3|+|x-1|的最小值即可．

解答： 解：设f（x）=|x+3|+|x-1|，
若当x≥1时，f（x）=x+3+x-1=2x+2∈[4，+∞），
当-3＜x＜1时，f（x）=x+3-x+1=4，
当x≤-3时，f（x）=-x-3-x+1=-2x-2∈[4，+∞），
即f(x)=

2x+2，x≥1 4，-3＜x＜1 -2x-2，x≤-3

，
∴函数f（x）的最小值为4，
要使不等式log₂（4-a）≤|x+3|+|x-1|成立，
log₂（4-a）≤4成立，
即0＜4-a≤16，
即-12≤a＜4，
故实数a的取值范围是[-12，4），
故答案为：[-12，4）

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，考查绝对值函数的性质．