Question

如图，A，B分别是单位圆与x轴，y轴正半轴的交点，点P为单位圆的

AB

上的动点，记∠AOP=θ．又点C的坐标为（-2，0）．
（1）当

CB

∥

OP

时，求tan(θ-

π

4

)的值；
（2）若

OP

=

OQ

-

OA

，S为四边形OAQP的面积，求

OA

•

OQ

+S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意给出点A、B、P的坐标，从而得到向量

CB

、

OP

的坐标，由向量平行的条件列式，结合同角三角函数的关系解出tanθ=

1

2

，再根据两角差的正切公式，即可算出tan(θ-

θ

4

)的值；
（2）根据题意可得四边形OAQP是平行四边形，利用三角形面积公式、数量积的公式与三角恒等变换公式，建立关系式并化简，可得

OA

•

OQ

+S=

2

sin(θ+

π

4

)+1，最后根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得所求的最大值．

解答：解：（1）根据题意，可得A、B、P的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（cosθ，sinθ），
∴

OA

=(1，0)，

OP

=(cosθ，sinθ)．
又∵C（-2，0），可得

CB

=(2，1)，
∴由

CB

∥

OP

，得cosθ-2sinθ=0，可得sinθ=

1

2

cosθ，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

2

，
因此，tan(θ-

θ

4

)=

tanθ-1

tanθ+1

=-

1

3

；
（2）∵

OP = OQ - OA

，
∴四边形OAQP是平行四边形，
可得OAQP的面积为

S=2S△POA=2× 1 2 |OP|×|OA|×sinθ=sinθ

．
由（1）得

OQ = OP + OA =(1+cosθ，sinθ)

，

OA

=(1，0)，
∴

OA • OQ =1+cosθ．

∴

OA

•

OQ

+S=sinθ+cosθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，其中0＜θ＜π．
因此，当θ+

π

4

=

π

2

即θ=

π

4

时，

OA

•

OQ

+S的最大值为

2

+1．

点评：本题给出单位圆中的向量，求数量积与四边形面积之和的最大值．着重考查了向量的数量积公式、三角恒等变换公式、同角三角函数的基本关系与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．