Question

20．在四棱锥PABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点且满足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PE}$，试求平面EBD与平面PBD夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据题意PD⊥AD，由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PDB．
（2）$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PE}$，设平面的EBD法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DB}$=0，由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0，求解得出$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），运用向量数量积cos=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BC}|}$．

解答 （1）证明：平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，如图，以D为原点距离坐标系Dxyz，
设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
所以$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{DB}$=0，BC⊥DB，
由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
所以BC⊥平面PDB．
（2）平面PBD的法向量为$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，4，-2），
∴$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PE}$，
所以E（0，2，1），
设平面的EBD法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
 $\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DB}$=0，由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴cos=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间向量在判断垂直问题中的应用，转化好直线与直线，平面与平面的垂直问题，利用向量求夹角问题，难度不大，属于中档题．