Question

9．已知O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OB}$=（-1，2）．若平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1）的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是（　　）

• A． $y=1n\frac{5-x}{5+x}$
• B． $y=\frac{1}{x}$
• C． y=e^x+e^-x-1
• D． y=x+cosx

Answer 1

分析 利用向量的基本定理求出区域D，若曲线把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线，则对曲线应的函数为过原点的奇函数．

解答 解：足$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$=λ（1，0）+μ（-1，2）=（λ-μ，2μ），
设C（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=λ-μ}\\{y=2μ}\end{array}\right.$，
∵-2≤λ≤2，-1≤μ≤1，∴-3≤λ≤3，-2≤y≤2，
若若曲线把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线，
则对曲线应的函数为过原点的奇函数．
A．f（-x）=ln$\frac{5+x}{5-x}$=-ln$\frac{5-x}{5+x}$，为奇函数，且在原点有意义，满足条件．
B．为奇函数，但不过原点，不满足条件．
C．函数为偶函数，不满足条件．
D．函数为非奇非偶函数，不满足条件．
故选：A

点评 本题主要考查函数奇偶性的对称性的应用，根据条件求出C对应的区域，结合函数的对称性是解决本题的关键．