题目内容
12．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的坐标系中，直线$l：\;\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）+4=0$．（1）已知直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），判断点A与直线l的位置关系；
（2）设点B为曲线C上的一个动点，求点B到直线l距离的最大值．
分析 （1）根据极坐标和直角坐标的转化求出l的直角坐标方程，代入A的坐标检验即可；
（2）设出B是坐标，表示出B点到直线l的距离，根据三角函数的性质求出d的最大值即可．
解答 解：（1）$l：\;\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）+4=\sqrt{2}ρ（{cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}}）+4=ρcosθ-ρsinθ+4=0$，
所以直线l在直角坐标系中的方程为x-y+4=0，
经验证，点A（0，4）在直线l上．
（2）B点在曲线C上，设B点坐标为$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
则B点到直线l的距离为$d=\frac{{\left|{\sqrt{3}cosα-sinα+4}\right|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\left|{2cos（{α+\frac{π}{6}}）+4}\right|}}{{\sqrt{2}}}$，
当$cos（{α+\frac{π}{6}}）=1$时，${d_{max}}=\frac{6}{{\sqrt{2}}}=3\sqrt{2}$．
点评 本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查点到直线的距离，考查三角函数的性质，是一道中档题．
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