Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=$\frac{1}{2}$AC=2，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$．
（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP=$\sqrt{5}$，AP与BC所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求二面角A-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于点O，推导出AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明AP⊥BD．
（2）作PE⊥AC于点E，则PE⊥底面ABCD，PE⊥BD，以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{EP}$的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出二面角A-BP-C的余弦值．

解答 证明：（1）如图，连接BD交AC于点O．
∵BC=CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，
∵AP?平面PAC，∴AP⊥BD．…（5分）
解：（2）作PE⊥AC于点E，则PE⊥底面ABCD，PE⊥BD，
以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{EP}$的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz．
$OC=CD•{cos}\frac{π}{3}=1$，而AC=4，得AO=AC-OC=3，
又$OD=CD•{sin}\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，故$A（{0，-3，0}），B（{\sqrt{3}，0，0}），C（{0，1，0}），D（{-\sqrt{3}，0，0}）$．
设P（0，y，z）（z＞0），则由$AP=\sqrt{5}$，得（y+3）²+z²=5，
而$\overrightarrow{AP}=（{0，y+3，z}），\overrightarrow{BC}=（{-\sqrt{3}，1，0}）$，
由cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得$\frac{y+3}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则y=-1，z=1，…..（8分）
∴$\overrightarrow{AB}=（{\sqrt{3}，3，0}），\overrightarrow{BP}=（{-\sqrt{3}，-1，1}），\overrightarrow{BC}=（{-\sqrt{3}，1，0}）$．
设平面ABP的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，平面BCP的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AP}=\sqrt{3}{x}_{1}+3{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=-\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${x}_{1}=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n_1}=（{\sqrt{3}，-1，2}）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=-\sqrt{3}{x}_{2}-{y}_{2}+{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}{x}_{2}+{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取${x}_{2}=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n_2}=（{\sqrt{3}，3，6}）$，
从而法向量$\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}$的夹角的余弦值为cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
由图可知二面角A-BP-C是钝角，故二面角A-BP-C的余弦值为$-\frac{{\sqrt{6}}}{4}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．