Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²-n（p∈R，且p≠0），且a₂，a₃，a₅依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若数列{b_n}满足b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意得a₂=3p-1，a₃=5p-1，a₅=9p-1，从而求通项公式；
（2）化简b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•4^n-1，从而利用错位相减法求数列的和．

解答 解：（1）a₂=S₂-S₁=4p-2-（p-1）=3p-1，
a₃=S₃-S₂=9p-3-（4p-2）=5p-1，
a₅=S₅-S₄=25p-5-（16p-4）=9p-1，
∵a₂，a₃，a₅依次成等比数列，
∴（5p-1）（5p-1）=（3p-1）（9p-1），
解得，p=1，
故a₁=S₁=1-1=0，
a_n=S_n-S_n-1=pn²-n-（p（n-1）²-（n-1））
=（2n-1）p-1=2n-2，
a₁=0也满足a_n=2n-2，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2；
（2）b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•4^n-1，
故T_n=1+2•4+3•4²+…+n•4^n-1，
4T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ，
故3T_n=-1-4-4²-…-4^n-1+n•4ⁿ，
故3T_n=n•4ⁿ-$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$，
故T_n=$\frac{（3n-1）{4}^{n}+1}{9}$．

点评 本题考查了数列的通项公式及前n项和公式的应用及错位相减法的应用．