Question

设{a_n}是首项为1的正项数列，且(n+1)a_n+1²－na_n²+a_n+1a_n=0(n=1,2,3,…),求它的通项公式.

Answer 1

解法一:将n=1,a₁=1代入(n+1)a_n+1²－na_n²+a_n+1a_n=0，得a₂=.类似地，可求得a₃=,a₄=.

由此归纳出a_n=.

解法二:由(n+1)a_n+1²－na_n²+a_n+1a_n=0，得［(n+1)a_n+1－na_n］(a_n+1+a_n)=0.

∵a_n+1＞0,a_n＞0,∴(n+1)a_n+1－na_n=0,

即=，于是有=,=,=,=,…,=.

以上各式相乘得

···…·=··?·…·.

因此，a_n=.

点评:解法一利用归纳、猜想得出的结论有待证明；解法二通过分解因式、化简再等式相乘的方法得出，虽然解答过程较复杂，但结论准确.