Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若过其右焦点F作倾斜角为45°的直线l与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（　　）

• A．[

  2

  ，+∞)
• B．(1，

  2

  )
• C．[2，+∞）
• D．（1，2）

Answer 1

分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即

b

a

＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=

c2-a2

转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．

解答：解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即

b

a

＜tan45°=1，即b＜a
∵b=

c2-a2

∴

c2-a2

＜a，
整理得c＜

2

a
∴e=

c

a

＜

2

∵双曲线中e＞1
∴e的范围是（1，

2

）
故选B．

点评：本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．