Question

6．如图，AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC=CD=1，∠ABC=30°，求二面角C-AB-D的大小的余弦值．

Answer 1

分析 作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，设二面角C-AB-D的大小为θ，则${\overrightarrow{CD}}^{2}={\overrightarrow{CE}}^{2}+{\overrightarrow{EF}}^{2}+{\overrightarrow{FD}}^{2}$-2|$\overrightarrow{CE}$|•$|\overrightarrow{FD}|$•cosθ，由此能求出二面角C-AB-D的余弦值．

解答 解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，
∵AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，AC=CD=1，∠ABC=30°，
∴AD=$\sqrt{2}$，AB=2，BC=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理，DF=$\frac{AD•BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{2}$=1，
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=1，AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴EF=2-1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
设二面角C-AB-D的大小为θ，
∵$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}={\overrightarrow{CE}}^{2}+{\overrightarrow{EF}}^{2}+{\overrightarrow{FD}}^{2}$-2|$\overrightarrow{CE}$|•$|\overrightarrow{FD}|$•cosθ，
即1=$\frac{3}{4}$+1+$\frac{1}{4}$-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}×1×cosθ$，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-AB-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．