题目内容

计算 f(x)=
1
3
x3-
3
2
x2+2x+1在x∈[0，
3
2
]时函数的最大值和最小值．
分析：先求导函数，再确定函数在定义域上的单调性，从而可求函数的最大值和最小值．
解答：解：求导函数f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0，可得1＜x＜2
∵x∈[0，
3
2
]
∴函数在[0，1]上单调增，在[1，
3
2
]上单调减
∴当x=1时，函数取得最大值f（1）=
11
6

∵f(0)=1，f(
3
2
)=
7
4

∴当x=0时，函数取得最小值f（0）=1
点评：本题重点考查函数的最值，考查导数知识的运用，解题的关键是利用导数确定函数在定义域上的单调性．
练习册系列答案
相关题目
（1）f（x）=
sinxπ，(x＜0)
f(x-1)-
1
2
，(x≥0)
，求f（-
1
3
）-f（
3
4
）的值．
（2）已知A（-3，-4），B（-5，3），C（-6，5），计算4
AB
-3
BC
．
已知函数f(x)=
x2
1+x2
，x∈R．
（1）求f(x)+f(
1
x
)的值；
（2）计算f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+f(
1
4
)．
（2012•成都模拟）根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈A，计算出x1=f（x0）；
②若x0∉A，则数列发生器结束工作；
若x0∈A，则输出x1，并将x1反馈回输入端，再计算出x2=f（x1）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，f(x)=
mx
m+1-x
（m∈N*）．
（1）求证：对任意x0∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}；
（2）若x0=
1
2
，记an=
1
xn
（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）在得条件下，证明
1
4
＜xm≤
1
3
（m∈N*）．
设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0．b，c∈R．
（1）计算f′（
1
3
）；
（2）若x=
1
3
为函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（3）设M表示f′（0）与f′（1）两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤M．
已知函数f(x)=
x2
1+x2
．
（Ⅰ）求f(2)+f(
1
2
)，f(3)+f(
1
3
)，f(4)+f(
1
4
)的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算猜想关于f（x）的一个性质，并证明．

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