Question

设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0．b，c∈R．
（1）计算f′（

1

3

）；
（2）若x=

1

3

为函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（3）设M表示f′（0）与f′（1）两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤M．

Answer 1

分析：（1）利用导数公式求f′（

1

3

）；
（2）由x=

1

3

为函数f（x）的一个极值点，得到f′(

1

3

)=0，然后求函数的单调区间；
（3）利用导数求最大值

解答：解：（1）f′(x)=3ax2-2(a+b)x+b，f′(

1

3

)=

b-a

3

…（2分）
（2）由f′(

1

3

)=0，得a=b． …（3分）
故f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f'（x）=a（3x²-4x+1）=0，得x₁=

1

3

，x₂=1．…（4分）
列表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，

1

3

）及（1，+∞）．…（6分）
（3）f'（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a(x-

a+b

3a

)2-

a2+b2-ab

3a

．
①当

a+b

3a

≥1，或

a+b

3a

≤0时，则f'（x）在[0，1]上是单调函数，
所以f'（1）≤f'（x）≤f'（0），或f'（0）≤f'（x）≤f'（1），且f'（0）+f'（1）=a＞0．
所以|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．…（8分）
②当0＜

a+b

3a

＜1，即-a＜b＜2a，则-

a2+b2-ab

3a

≤f'（x）≤max{f'（0），f'（1）}．
（i） 当-a＜b≤

a

2

时，则0＜a+b≤

3a

2

．
所以  f'（1）-

a2+b2-ab

3a

=

2a2-b2-2ab

3a

=

3a2-(a+b)2

3a

≥

1

4

a2＞0．
所以|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}． …（11分）
（ii） 当

a

2

＜b＜2a时，则(b-

a

2

)(b-2a)＜0，即a²+b²-

5

2

ab＜0．
所以b-

a2+b2-ab

3a

=

4ab-a2-b2

3a

＞

5 2 ab-a2-b2

3a

＞0，即f'（0）＞

a2+b2-ab

3a

．
所以|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．
综上所述：当0≤x≤1时，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．…（14分）

点评：本题考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的极值与最值问题，通过表格可以比较直观的体现函数的单调性与最值．