Question

已知函数f(x)=

x2

1+x2

．
（Ⅰ）求f(2)+f(

1

2

)，f(3)+f(

1

3

)，f(4)+f(

1

4

)的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算猜想关于f（x）的一个性质，并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数表达式直接求f(2)+f(

1

2

)，f(3)+f(

1

3

)，f(4)+f(

1

4

)的值即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算猜想关于f（x）的一个性质即可．

解答：解：（I）f(2)+f(

1

2

)=

22

1+22

+

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

4

5

+

1

5

=1，
f(3)+f(

1

3

)，=

32

1+32

+

( 1 3 )2

1+( 1 3 )2

=

9

10

+

1

10

=1，
f(4)+f(

1

4

)=

42

1+42

+

( 1 4 )2

1+( 1 4 )2

=

16

17

+

1

17

=1．
（II）猜想：当x≠0时，f(x)+f(

1

x

)=1．
证明如下：f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=

x2+1

1+x2

=1．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数式的特点归纳出当x≠0时，f(x)+f(

1

x

)=1是解决本题的关键，考查学生的观察能力．