Question

9．已知f₁（x）=|x-1|，f_n+1（x）=|（n+1）f_n（x）-1|，n∈N^*，若函数y=f₃（x）-kx恰有4个不同零点，则正实数k的值为2．

Answer 1

分析 由题意化简f₃（x）=|3f₂（x）-1|=$\left\{\begin{array}{l}{|6x-10|，x≥\frac{3}{2}}\\{|6x-8|，1≤x＜\frac{3}{2}}\\{|6x-4|，\frac{1}{2}≤x＜1}\\{|6x-2|，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；从而作函数y=f₃（x）与函数y=kx的图象，结合函数图象求解即可．

解答 解：∵f₁（x）=|x-1|，
∴f₂（x）=|2f₁（x）-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{|2x-3|，x≥1}\\{|1-2x|，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f₃（x）=|3f₂（x）-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{|6x-10|，x≥\frac{3}{2}}\\{|6x-8|，1≤x＜\frac{3}{2}}\\{|6x-4|，\frac{1}{2}≤x＜1}\\{|6x-2|，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
作函数y=f₃（x）与函数y=kx的图象如下，

结合图象可得，
当函数y=f₃（x）-kx恰有4个不同零点时，
y=kx过点（1，2）；
故k=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了数形结合的图象应用及绝对值函数的化简与应用，属于中档题．