Question

已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是常数．
（1）若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线；
（2）是否存在常数a，使f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）先去绝对值，利用分段函数表示出函数f（x），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=-1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简；
（2）讨论x的正负，将a分离出来，x=0时，对任意a∈R恒成立，0＜x＜2时，转化成x-2-

1

x

＜a＜2+x+

1

x

，然后利用导数研究两边函数的最值，得到a的范围，x＜0时，转化成a＞2+x+

1

x

或a＜x-2-

1

x

对任意x∈（-∞，2）恒成立，求出a的范围，最后求出a的交集即可．

解答：解：（1）a=1时，f(x)=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1.

，在点P（-1，f（-1））附近，
f（x）=x-x²，f^/（x）=1-2x，所以P（-1，-2），k=f^/（-1）=3，所求切线方程为y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（2）f（x）＜2x+1即x|x-a|＜2x+1（*）
x=0时，（*）等价于0＜1，对任意a∈R恒成立．
0＜x＜2时，（*）等价于|x-a|＜2+

1

x

，即x-2-

1

x

＜a＜2+x+

1

x

，2+x+

1

x

≥4，等号当且仅当x=1时成立，
(x-2-

1

x

)/=1+

1

x2

＞0，y=x-2-

1

x

在0＜x＜2单调递增，x-2-

1

x

＜-

1

2

，所以-

1

2

≤a＜4（9分）．
x＜0时，（*）等价于|x-a|＞2+

1

x

，即a＞2+x+

1

x

或a＜x-2-

1

x

，2+x+

1

x

=2-[(-x)+(-

1

x

)]≤2-2=0，
等号当且仅当-x=1即x=-1时成立，所以a＞0，
y=x-2-

1

x

在x＜0时的取值范围为R，所以a＜x-2-

1

x

恒成立的a的解集为空集φ．
所以，常数a的取值范围为R∩{a|-

1

2

≤a＜4}∩{a|a＞0}={a|0＜a＜4}．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．