Question

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，求△PAC面积最大值．

Answer 1

（1）证明：由正弦定理得，…（2分）
整理为sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，…（3分）
又因为0＜2A、2B＜2π，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或．…（6分）
∵，∴A=B舍去，故，
由可知，∴△ABC是直角三角形．…（6分）
（2）解：由（1）及c=2，及勾股定理得a=1，，…（7分）
设，则，…（8分）
在Rt△PAB中，PA=AB•cosθ=2cosθ
所以=…（10分）
==
===…（12分）
因为
所以，
当，即时，S_△PAC最大值等于．…（14分）
分析：（1）由正弦定理求得sin2A=sin2B，故2A=2B或2A+2B=π，再由，可得只能，，从而得到
△ABC是直角三角形．
（2）由（1）及c=2，及勾股定理得a=1，，设，则 PA=AB•cosθ=2cosθ，化简△PAC面积为，再由θ的范围可得时，S_△PAC 取得最大值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．