Question

如图，设圆（x-5）²+y²=16的圆心为C，此圆和抛物线y²=px（p＞0）有四个交点，若在x轴上方的两个交点为A（x₁，

px1

），B（x₂，

px2

）（x₁＜x₂），坐标原点为O，△AOB的面积为S．
（1）求p的取值范围；
（2）求S关于p的函数f（p）的表达式及S的最大值；
（3）求当S取最大值时，向量

CA

与

CB

的夹角．

Answer 1

分析：（1）因为圆和抛物线有四个交点，所以联立两个方程，消去y，根据圆和抛物线的对称性，得到的关于x的一元二次方程有两个不同正根，据此可求出参数p的范围．
（2）△AOB的面积可用

1

2

|AB|乘以O到AB的距离来计算，用弦长公式计算|AB|，点到直线的距离公式计算O到AB的距离，就可得到S关于p的函数f（p）的表达式，再根据（1）中所求p的范围求最大值．
（3）用数量级的夹角公式计算即可．

解答：解：（1）把 y²=px代入（x-5）²+y²=16得 x²+（p-10）x+9=0
依题意得方程x²+（p-10）x+9=0有两个不同的正根为x₁，x₂
∴x₁+x₂=10-p，x₁x₂=9，∴

p2-20p+64＞0 10-p＞0

解得p＜4又∵p＞0
∴p的取值范围是（0，4）
（2）∵直线AB的斜率kAB=

px1 - px2

x1-x2

=

p

x1 + x2

∴AB的方程：y-

px1

=

p

x1 + x2

(x-x1)，
即 

p

x-(

x1

+

x2

)y+

px1x2

=0，即 

p

•x-

16-p

•y+3

p

=0
∴点O到AB的距离d=

3 p

4

，
又|AB|=

(x1-x2)2+p•( x1 - x2 )2

=

64-16p

∴S=f（p）=

1

2

64-16p

3 p

4

=

1

2

3	p(4-p)

≤3，
当且仅当p=2时S取最大值为3
（3）S取最大值时，p=2，解方程x²-8x+9=0，得A(4-

7

，

7

-1)，B(4+

7

，

7

+1)

CA

=(-

7

-1，

7

-1)，

CB

=（(

7

-1，

7

+1)，

CA

•

CB

=-6+6=0
∴向量

CA

，

CB

的夹角的大小为90°．

点评：本题考查了圆与双曲线位置关系的判断，以及弦长公式，点到直线距离公式，向量的数量积公式的应用，用到公式较多，平时做题中应注意积累．