Question

17．设函数f（x）在数集X上有定义，试证：函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界．

Answer 1

分析 根据函数有界的定义，及函数上界下界的定义，逐一分析充分性和必要性，综合可得结论．

解答 证明：（必要性）
∵f（x）在X上有界，
∴|f（x）|≤M（M属于正实数集），
∴-M≤f（x）≤M，
∴f（x）既有上界M，又有下界-M．
（充分性）
∵f（x）在X上既有上界又有下界，
∴Min≤f（x）≤Max（Min，Max属于实数集），
∴|f（x）|≤max（|Min|，|Max|），
∴f（x）在X上有界．
综上所述，函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界．

点评 本题考查的知识点是充要条件的定义与判断，函数的有界性，难度中档．