Question

设F₁、F₂为椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的两个焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF₁QF₂的面积最大时，

PF1

•

PF2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：F₁、F₂为椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的两个焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF₁QF₂的面积最大时，可判断出此时点P，Q恰好是椭圆的短轴的端点，此时PF₁=PF₂=a，可求得∠F₁PF₂=90°，由此可求出

PF1

•

PF2

的值

解答：解：由题意当四边形PF₁QF₂的面积最大时，点P，Q恰好是椭圆的短轴的端点此时PF₁=PF₂=2，
又椭圆

x2

4

+

y2

2

=1
故有a=2，b=

2

，代入a²=b²+c²，解得c=

2

即b=c，由此得∠F₁PF₂=90°，
即

PF1

⊥

PF2

所以

PF1

•

PF2

的值等于0
故答案为：0．

点评：本题考查椭圆的简单性质，解题的关键是根据题设条件得出a，b，c三个量之间的关系，由此关系判断出椭圆的四边形PF₁QF₂的面积最大时，两向量的夹角，再由向量的数量积公式求出数量积．