Question

设F₁，F₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先依据条件求出AF₁的长度，由题意知∠AF₂F₁  小于45°，由 tan∠AF₂F₁＜1 建立关于a、c的不等式，
转化为关于e的不等式，解此不等式求出离心率e的范围，再结合 0＜e＜1 得到准确的离心率e的范围．

解答：解：由题意知∠AF₂F₁  小于45°，故 tan∠AF₂F₁  ;=

|AF1|

|F1F2|

＜1，即  

b2 a

2c

＜1，
b²＜2ac，a²-c²＜2ac，e²+2e-1＞0，∴e＞

2

-1，或 e＜-1-

2

 （舍去）．
又 0＜e＜1，故有  

2

-1＜e＜1，
故答案为：

2

-1＜e＜1．

点评：本题考查椭圆的标准方程和简单的性质，利用∠AF₂F₁ 小于45°，tan∠AF₂F₁＜1求出e的范围，将此范围与 0＜e＜1取交集．