Question

已知函数f（x）=（m-1）xm2-m-3为幂函数，g（x）=

1

4

x+f（x）．
（1）求证：函数g（x）是奇函数；
（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域,幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为只有y=x^α型的函数才是幂函数，所以只有，m-1=1，函数f（x）=（m-1）xm2-m-3才是幂函数，据此得出m．然后再证明其是奇函数；
（2）根据函数的单调性证明即可．

解答： 证明：（1）有f（x）为幂函数，得m-1=1，∴M=2，
∴f（x）=

1

x

，（x≠0），
∴g（x）=

1

4

x+

1

x

，
由g（-x）=

1

4

（-x）+

1

-x

=-（

1

4

x+

1

x

），
∴函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数；
（2）设任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=（

1

4

x1+

1

x1

)-(

1

4

x2+

1

x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
由x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
得：x₁-x₂＞4，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性，属于基础题．