Question

10．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则BD与平面ABC所成角的正切值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 取BC中点F连AF过D作DE⊥AF，连接BE，证明∠DBE为BD与平面ABC所成角，在Rt△BED中，求出BD与平面ABC所成角的正切值．

解答 解：取BC中点F连AF过D作DE⊥AF，连接BE，
∵BD=CD，
∴DF⊥BC，
∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D
∴AD⊥平面BCD，
∵BC?平面BCD，
∴AD⊥BC，
∴BC⊥平面ADF，
∴BC⊥DE，
∵DE⊥AF，BC∩AF=F，
∴DE⊥平面ABC，
∴∠DBE为BD与平面ABC所成角，
设AB=1，则BD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BC=1，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△ADF中，DE=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴在Rt△BED中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠BDE=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查BD与平面ABC所成角的正切值，考查学生的计算能力，正确作出直线与平面所成的角是关键．