Question

已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=2，若直线l与圆C相切，且与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，则|OA|+|OB|（O为坐标原点）的最小值为（　　）

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：设直线l的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），由直线与圆相切可得

|b+a-ab|

a2+b2

=

2

，变形结合基本不等式可得a²+b²-a²b²+2ab（a+b）≥2ab-a²b²+2ab（a+b），整理可得a²b²≥2ab（a+b），可得ab≥2（a+b），再由(

a+b

2

)2≥ab≥2(a+b)，可得(

a+b

2

)2≥2(a+b)解不等式可得答案．

解答： 解：由题意设直线l的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0）
化为一般式方程可得bx+ay-ab=0，
由直线与圆相切可得

|b+a-ab|

a2+b2

=

2

，
展开可得a²+b²+a²b²+2ab-2a²b-2ab²=2（a+b）²，
整理可得a²+b²-a²b²+2ab（a+b）=2ab，
由基本不等式可得a²+b²-a²b²+2ab（a+b）≥2ab-a²b²+2ab（a+b）
整理可得a²b²≥2ab（a+b），可得ab≥2（a+b），
又(

a+b

2

)2≥ab≥2(a+b)，∴(

a+b

2

)2≥2(a+b)
解不等式可得a+b≥8，当且仅当a=b时取等号，
故选：C

点评：本题考查圆的切线方程和直线的截距式方程，涉及基本不等式的应用，属中档题．