Question

已知函数f（x）=sin（π-2x），g（x）=2cos²x，则下列结论正确的是（　　）

• A．函数f（x）在区间[

  π

  4

  ，

  π

  2

  ]上为增函数
• B．函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2π
• C．函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=

  π

  8

  对称
• D．将函数f（x）的图象向右平移

  π

  2

  个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象

Answer 1

分析：将f（x）与g（x）分别化简，再对A，B，C，D四个选项逐一分析即可．

解答：解：∵f（x）=sin（π-2x）=sin2x，y=sinx在[0，

π

2

]上单调递增，在区间[

π

2

，π]上单调递减，
∴f（x）=sin2x在区间[

π

4

，

π

2

]上单调递减，故A错误；
又g（x）=2cos²x=1+cos2x，
∴y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴其周期T=π，由2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）得，x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，当k=0时，x=

π

8

；
故B错误，C正确；
对于D，f（x）=sin2x

图象向右平移 π 2 个单位

f（x-

π

2

）=sin[2（x-

π

2

）]=-sin2x≠1+cos2x=g（x），
故D错误．
综上所述，只有C正确．
故选C．．

点评：本题考查二倍角的余弦，考查正弦函数的性质的应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合性强，属于中档题．