Question

已知圆C：（x-a）²+y²=r²与直线y=x-1交于A、B点，点P为线段AB中点，O为坐标原点．
（1）如果直线OP的斜率为

1

3

，求实数a的值；
（2）如果|AB|=

20

，且OA⊥OB，求圆C的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线的斜率

专题：直线与圆

分析：（1）联立

(x-a)2+y2=r2 y=x-1

，得2x²-（2a+2）x+a²+1-r²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知条件结合韦达定理求出P（

a+1

2

，

a-1

2

），由此能求出a=2．
（2）由已知条件得

x1x2+y1y2=0 (1+1)[(a+1)2-4• a2+1-r2 2 ] = 20

，由此能求出圆C的方程．

解答： 解：（1）联立

(x-a)2+y2=r2 y=x-1

，
得2x²-（2a+2）x+a²+1-r²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=a+1，x₁x₂=

a2+1-r2

2

，
y₁+y₂=x₁+x₂-2=a-1，
∵P为A中点，∴P（

a+1

2

，

a-1

2

），
∵O（0，0），直线OP的斜率为

1

3

，
∴

a-1 2

a+1 2

=

1

3

，解得a=2．
（2）∵|AB|=

20

，且OA⊥OB，
∴

x1x2+y1y2=0 (1+1)[(a+1)2-4• a2+1-r2 2 ] = 20

，
∵x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-1）（x₂-1）
=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=（a²+1-r²）-a-1+1
=（a²+1-r²）-a=0，
∴a=3，r²=7，或a=-3，r²=13，
∴圆C的方程：（x-3）²+y²=7或（x+3）²+y²=13．

点评：本题考查实数值的求法，考查圆的方程的求法，解题量要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．