Question

设椭圆的方程为 ，斜率为1的直线不经

过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.

（1）问：直线与能否垂直？若能，之间满足什么关系；若不能，说明理由；

（2）已知为的中点，且点在椭圆上.若，求椭圆的离心率.

Answer 1

解答：（1）∵斜率为1的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，

∴可以设直线的方程为.

∵，∴，

∴.     ① ………………………………1分

∵直线与椭圆相交于两点，∴

.  ② …………………… 2分

且.   ③ ……………………………… 3分

∵为线段的中点，∴,

∴，∴. ……… 4分

假设直线与能垂直.

∵直线的斜率为1，∴直线的斜率为-1，

∴，∴.……………………………………………… 5分

∵在椭圆方程中，，

∴假设不正确，在椭圆中直线与不能垂直. …………………………… 6分

（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形.

∵，∴四边形OANB为矩形，∴，……………………… 7分

∴，∴，∴，

∴，

∴，整理得.……… 8分

∵点在椭圆上，∴，∴. …… 9分

此时，满足，

消去得，即. ………………………… 10分

设椭圆的离心率为e，则，∴，

∴，∴，

∴，∵，∴.