Question

一个棱锥的底面是边长为a的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积．

Answer 1

分析：棱锥的侧面积等于三个侧面的面积的和，体积利用V=

1

3

S_△BCD×AE即可求解．

解答：解：如图所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC与△BCD均为边长为a的正三角形，
取BC中点E，连接AE，则AE⊥平面BCD，
故棱锥A-BCD的高为AE，△BCD的面积为

3

4

a²，AE=

3

2

a，
∴这个棱锥的体积V_A-BCD=

1

3

•

3

4

a²•

3

2

a=

1

8

a³．
连接DE，∵AE⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AE⊥DE，
在Rt△AED中，AE=ED=

3

2

a，
∴AD=

2

•

3

2

a=

6

2

a．
取AD中点F，连接CF，则CF⊥AD．
在Rt△CDF中，DF=

1

2

•

6

2

a=

6

4

a，
∴CF=

10 a

4

a．
∴S_△ACD=

1

2

AD•CF=

1

2

×

6

2

a×

10 a

4

a=

15

8

a²．
∵△ABD≌△ACD，S_△ABD=

15

8

a²．
故S_全面积=

3

4

a²+

3

4

a²+2×

15

8

a²=

2 3 + 15

4

a²．

点评：本题考查棱锥的侧面积和体积，考查空间想象能力，考查学生的计算能力，属于中档题．