Question

【题目】已知函数．

（1）当时,求在点处的切线方程;

（2）若对于任意的,恒有成立,求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，对求导，是切点的纵坐标，是切线的斜率，利用点斜式列出切线方程；第二问，先将对于任意的,恒有成立，转化为，对求导，再构造函数，利用的正负，判断的单调性，从而确定，继续将题目转化为恒成立，通过整理，需证明的取值范围，从而解出a的取值范围．

试题解析：（1）当时，，

∴，∴，

∵，

∴在点处的切线方程为：．

（Ⅱ）∵ ∴

令,则

∴在上递增

∵,当时, ∴存在,使,

且在上递减 ,在上递增

∵ ∴,即

∵对于任意的,恒有成立

∴ ∴

∴ ∴ ∴

∵ ∴

令,而,当时,

∴存在,使

∵在上递增,∴

∴

∵在上递增 ∴

∴ ∴．