Question

【题目】数列中，，.

（1）求证：存在的一次函数，使得成公比为2的等比数列；

（2）求的通项公式；

（3）令，求证：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意，设满足条件，由于成公比为2的等比数列，根据等比数列的定义，得出，利用待定系数法求出和，即可得出结论；

（2）由（1）知是首项为，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式得出，即可求出的通项公式；

（3）先求出，要证，即证，根据放缩法得出，当时，，再利用裂项相消法求和，即可证明不等式.

解：（1）证明：设满足条件，

由于成公比为2的等比数列，

则，

即，

由，得，

解得：，，，

存在，使成公比为2的等比数列.

（2）由（1）知是首项为，公比为2的等比数列，

则，.

（3）证明：，即，

要证，即证，

当时，，

，

即，

所以，

即.