题目内容

设数列{an}满足：当 n=2k-1（k∈N*）时，an=n；当n=2k（k∈N*）时，an=ak；记sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
（1）求s3；
（2）证明：sn=4n-1+sn-1（n≥2）
（3）证明：
1
s1
+
1
s2
+
1
s3
+…+
1
sn
＜1-
1
4n
．
分析：（1）根据题意中Sn的表达式写出S3，即s3=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，进而由数列的通项公式可得可得各项的值，相加可得答案；
（2）将Sn分解为奇数项的和与偶数项和两部分，分别化简计算可得Sn=[1+3+…+(2n-1)]+(a2+a4+a6+…+a2n），前一部分为等比数列前n项的和，代入计算可得答案；
（3）由（2）知sn-sn-1=4n-1，依次可得sn-1-sn-2=4n-2，sn-2-sn-3=4n-3 …s2-s1=4，将各式相加可得sn=2+
4(1-4n-1)
1-4
=
1
3
(2+4n），进而对其求倒数可得
1
sn
=
3
4n+2
＜
3
4n
，即将
1
Sn
放大为
3
4n
，由等比数列前n项和公式计算可以得到证明．
解答：解：（1）s3=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a1+a3+a1+a5+a3+a7+a1
=4a1+2a3+a5+a7=4×1+2×3+5+7=22…（4分）
（2）证明：sn=a1+a2+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n）
=[1+3+…+(2n-1)]+(a2+a4+a6+…+a2n）
=4n-1+(a1+a2+a3+…+a2n-1）
=4n-1+sn-1…（9分）
（3）由（2）知sn-sn-1=4n-1，于是有：sn-1-sn-2=4n-2，sn-2-sn-3=4n-3 …s2-s1=4
上述各式相加得：sn-s1=4+42+…+4n-1
sn=2+
4(1-4n-1)
1-4
=
1
3
(2+4n），
∴
1
sn
=
3
4n+2
＜
3
4n

∴
1
s1
+
1
s2
+
1
s3
+…+
1
sn
＜
3
4
(1+
1
4
+
1
42
+…+
1
4n-1
）
=1-
1
4n
…（15分）
点评：本题综合考查数列与不等式，解题需特别注意sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，而不是前n项的和．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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