Question

（2011•湖北）（1）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；
（2）设a₁，b₁（k=1，2…，n）均为正数，证明：
①若a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，则…≤1；
②若b₁+b₂+…b_n=1，则≤…≤b₁²+b₂²+…+b_n²．

Answer 1

（1）0   （2）见解析

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；
故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；
（2）①由（1）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，
∵a_k，b_k（k=1，2…，n）均为正数，从而有lna_k≤a_k﹣1，
得b_klna_k≤a_kb_k﹣b_k（k=1，2…，n），
求和得≤a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n﹣（b₁+b₂+…+b_n）
∵a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，
∴≤0，即ln≤0，
∴…≤1；
②先证≤…，
令a_k=（k=1，2…，n），则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1=b₁+b₂+…b_n，
于是由①得≤1，即≤n^b1+b2+…bn=n，
∴≤…，
②再证…≤b₁²+b₂²+…+b_n²，
记s=b₁²+b₂²+…+b_n²．令a_k=（k=1，2…，n），
则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（b₁²+b₂²+…+b_n²）=1=b₁+b₂+…b_n，
于是由（1）得≤1，
即…≤s^b1+b2+…bn=s，
∴…≤b₁²+b₂²+…+b_n²，
综合①②，②得证．