题目内容
已知
=（sinωx+cosωx，
cosωx），
=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=
•
，且函数f（x）的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π．
（l）求ω的值；
（2）在△ABC中，以a，b，c（分别是角A，B，C的对边，且a=
，f（A）=1，求△ABC周长的取值范围．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（l）求ω的值；
（2）在△ABC中，以a，b，c（分别是角A，B，C的对边，且a=
| 3 |
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得函数f（x）=
•
=2sin(2ωx+
)．再利用正弦函数的图象与性质即可得出ω．
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+
)，利用f（A）=1，可得sin(2A+
)=
，由0＜A＜π，可得2A+
=
，解得A．利用正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，可得△ABC的周长l=
+2sinB+2sinC=
+2
sin(B+
)，即可得出．
| m |
| n |
| π |
| 6 |
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（1）∵函数f（x）=
•
=cos2ωx-sin2ωx+2
sinωxcosωx
=cos2ωx+
sin2ωx
=2sin(2ωx+
)．
函数f（x）的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π，ω＞0．
∴T=
=π，解得ω=1．
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+
)，
∵f（A）=1，∴2sin(2A+
)=1．∴sin(2A+
)=
，
∵0＜A＜π，∴
＜2A+
＜
，∴2A+
=
，解得A=
．
由正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，
∴△ABC的周长l=
+2sinB+2sinC=
+2sinB+2sin(
-B)
=
+3sinB+
cosB=
+2
sin(B+
)．
∵0＜B＜
，∴
＜B+
＜
，
∴三角形周长的取值范围是(2
，3
]．
| m |
| n |
| 3 |
=cos2ωx+
| 3 |
=2sin(2ωx+
| π |
| 6 |
函数f（x）的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π，ω＞0．
∴T=
| 2π |
| 2ω |
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+
| π |
| 6 |
∵f（A）=1，∴2sin(2A+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜π，∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
由正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，
∴△ABC的周长l=
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵0＜B＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴三角形周长的取值范围是(2
| 3 |
| 3 |
点评：本题综合考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质、正弦定理、三角形的周长，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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已知空间四边形ABCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直AB=AC=2，AD=
，则成60°的二面角是（ ）
| 6 |
| A、B-AD-C |
| B、D-BC-A |
| C、C-BD-A |
| D、B-CD-A |