Question

已知a，b∈R，求证a² + b²≥ab + a + b－1．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵ (a2 + b2)－(ab + a + b－1)   ， ∴ a2 + b2≥ab + a + b－1，当且仅当a = b = 1时等号成立． 此不等式的证明还可采用函数的方法： 设f ( a ) = ( a2+b2 )－(ab + a + b－1) = a2－(b + 1)a + b2－b + 1，这是一个a的二次函数式，由于二次项系数大于0，且= (b+1)2－4(b2－b+1) =－3(b－1)2≤0，故 f ( a )≥0对一切a∈R恒成立．

提示：

这是一个用求差比较法证明的不等式，对差式的变形是拆项和配方，以利用实数的性质： a2≥0．