题目内容

已知a，b∈R+，求证 
ab
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
．
分析：利用两数和的平方、平方差及重要不等式即可得出．
解答：解：∵a，b∈R+，∴(
a
-
b
)2≥0，∴a+b≥2
ab
，∴
a+b
2
≥
ab
，当且仅当a=b＞0时取等号．
∵(
a2+b2
2
)2-(
a+b
2
)2=
a2+b2
2
-
(a+b)2
4
=
(a-b)2
4
≥0，∴
a2+b2
2
≥
a+b
2
．
∴
a2+b2
2
≥
a+b
2
≥
ab
．
点评：熟练掌握两数和的平方、平方差半径数的大小及重要不等式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
已知a、b∈R，向量
e1
=（x，1），
e2
=（-1，b-x），函数f（x）=a-
1
e1
e2
是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（Ⅱ）求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．
选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．

B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R若矩阵M=
.
-1a
b3
.
所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

C．选修4-4：坐标系与参数方程
将参数方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
（t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b是正数，求证：（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥
9
2
．
选修4-5：不等式选讲
（1）求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集；
（2）已知a，b∈R+，a+b=1，求证：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网