Question

（08年新建二中模拟）如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
　　(1)求椭圆的“左特征点”M的坐标；
    (2)试根据(1)中的结论猜测：椭圆 的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论．

 

Answer 1

解析：(1)解：设M(m，0)为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，
　　设直线AB的方程为
　　将它代入得：，即         2分
　　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，                                4分
　　∵∠AMB被x轴平分，∴
    即，Þ
    Þ
    ∴，                                                                                           6分
　　于是
　　∵，∴，即
　　∴M(，0)                                                                                                                                    8分
　　(2)解：对于椭圆，，b = 1，c = 2，∴．
　　于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点．  10分
　　证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为C、D
　　据椭圆第二定义：，即
　　∵，∴                                                                                     12分
　　于是，即
　　∴，又均为锐角，
　　∴，∴
　　∴MF为∠AMB的平分线，故M为椭圆的“左特征点”．                                              14分