Question

（08年新建二中模拟文） (12分)    已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点．若点B的坐标为 (2，0)，且f (x) 在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
　　(1)求c的值；
　　(2)在函数f (x)的图象上是否存在一点M(x₀，y₀)，使得f (x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
　　(3)求| AC |的取值范围．

Answer 1

解析：(1)
　　依题意在和[0，2]上有相反的单调性，
　　∴x = 0是f (x)的一个极值点，故，得c = 0       
    (2) 因为f (x)交x轴于点B(2，0)
　　∴，即       
　　令得
　　因为f (x)在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，∴在[0，2]和[4，5]上有相反的符号
　　故2≤≤4　　Þ　－6≤≤－3   
　　假设存在点M(x₀，y₀)使得f (x)在点M的切线斜率为3b，则f ^/ (x₀) =3b，
    即
   
　　而－6≤≤－3，∴△＜0
　　故不存在点M(x₀，y₀)，使得f (x)在点M的切线斜率为3b．  
　　(3)解：设，依题意可令
　　
　　则即        
　　∴
　　∵－6≤≤－3，∴当时，；
　　当时，，故3≤| AC |≤4．