Question

本小题满分12分）
如图点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，且线段PF的中点在双曲线的左支上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）设双曲线方程为（，），
则，，∴．------------------------（2分）
又在双曲线上，∴．
联立①②③，解得，．∴双曲线方程为．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得，可简化计算．
（Ⅱ），设，，m：，则
由，得，．--------------------（6分）
由，得．
∴，．．
由，，，---------------------（8分）
消去，，
得．------------------------（9分）
∵，函数在上单调递增，
∴，∴．------------------------（10分）
又直线m与双曲线的两支相交，即方程两根同号，
∴．------------------------------------------------（11分）
∴，故．------------------------（12分）

略