Question

某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)，游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．

(1)设闯过n(n∈N^*，且n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为A_n，B_n，C_n，试求出A_n，B_n，C_n的表达式；

(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？

Answer 1

解：(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴A_n＝40n，

第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差为4的等差数列，

∴B_n＝4n＋×4＝2n²＋2n，

第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，

∴C_n＝＝(2ⁿ－1)．

(2)令A_n>B_n，即40n>2n²＋2n，解得n<19，

∵n∈N^*，且n≤12，∴A_n>B_n恒成立．

令A_n>C_n，即40n>(2ⁿ－1)，可得n<10，

∴当n<10时，A_n最大；当10≤n≤12时， C_n>A_n.

综上，若我是一名闯关者，当能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．