Question

已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、成等比数列．
（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的
任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

Answer 1

 （1）证明：由及，得
，故、、成等比数列．（3分）
（2）解：由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，
得，又，及，得点的坐标为，（5分）
因为点在椭圆上，所以，又，得，
，故存在满足题意的直线，其斜率．（6分）
（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”．（8分）
在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．（10分）
证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，
将代入，得，又将代入，化简得，
故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．（13分）

略