Question

（2012•许昌县一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，短轴长是2．
（I）求椭圆的方程；
（II）斜率为k经过M （O，

2

）的直线与椭圆交于P，Q两点，是否在实数k使

OP

•

OQ

=0成立，若存在，求出k值．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，短轴长是2，可求几何量，从而可求椭圆的方程；
（II）假设存在，设直线l：y=kx+

2

，代入

x2

2

+y2=1可得(1+2k2)x2+4

2

kx+2=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据

OP

•

OQ

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，结合韦达定理，即可求得结论．

解答：解：（I）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，短轴长是2．
∴

c

a

=

2

2

，b=1
∵a²=b²+c²
∴a=

2

，c=1
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）假设存在，设直线l：y=kx+

2

，代入

x2

2

+y2=1可得(1+2k2)x2+4

2

kx+2=0
由△=32k²-4×2（1+2k²）＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x1+x2=-

4 2 k

1+2k2

，x1x2=

2

1+2k2

∴y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k2x1x2+

2

k(x1+x2)+2=

2-2k2

1+2k2

∵

OP

•

OQ

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

2

1+2k2

+

2-2k2

1+2k2

=0
∴k²=2
∴k=±

2

满足题意
∴存在k=±

2

，使命题成立．

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查存在性问题的探究，解题的关键是将向量条件

OP

•

OQ

=0，转化为坐标之间的关系x₁x₂+y₁y₂=0．