Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+n}是等比数列；
（Ⅱ）若bn=(

1

2

)n-an，cn=

1+ 1 bn2 + 1 bn+12

，数列{c_n}的前n项和为P_n，求不超过P₂₀₁₃的最大整数的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)．利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”和等比数列的定义通项公式即可得出；
（II）代入化简再利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（Ⅰ） 由Sn+an=-

1

2

n2-

3

2

n+1(n∈N*)．当n=1时，2a1=-

1

2

-

3

2

+1，解得a1=-

1

2

．．
②当n≥2时，Sn-1+an-1=-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)+1．
∴2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
而a1+1=

1

2

，∴数列{a_n+n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴an+n=

1

2n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=(

1

2

)n-n，
∴b_n=n．
cn=

1+ 1 bn2 + 1 bn+12

=

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

1+

1

n

-

1

n+1

，
∴P2013=2013+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2013

-

1

2014

)=2014-

1

2014

．
故不超过P₂₀₁₃的最大整数为2013．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、递推式的意义、等比数列的定义通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于难题．