Question

将函数f（x）=

3

sin2x-cos2x的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为（　　）

• A．

  π

  12

• B．

  5π

  12

• C．

  π

  6

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：首先用三角函数的辅助角公式，将函数化简得f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后将函数的图象向右平移θ个单位，得到f（x-θ）=2sin（2x-2θ-

π

6

），再根据奇函数图象过原点，得到2sin（-2θ-

π

6

）=0，解之得θ=-

π

12

+

kπ

2

，最后取k=1，得实数θ的最小值为

5π

12

．

解答：解：将函数f（x）=

3

sin2x-cos2x化简，得f（x）=2sin（2x-

π

6

）
∴函数f（x）=

3

sin2x-cos2x的图象向右平移θ个单位，
得到f（x-θ）=2sin[2（x-θ）+

π

6

]，即y=2sin（2x-2θ-

π

6

），
∵y=2sin（2x-2θ-

π

6

）是奇函数，
∴当x=0时，y=2sin（-2θ-

π

6

）=0，
解之得-2θ-

π

6

=kπ（，k∈Z），所以θ=-

π

12

+

kπ

2

，
检验：当θ=-

π

12

+

kπ

2

时，函数y=2sin（2x-2θ-

π

6

）=2sin2x是奇函数，符合题意．
再取k=1，得实数θ的最小值为

5π

12

故选B

点评：本题将函数y=Asin（ωx+φ）的图象平移后，得到一个奇函数的图象，求平移长度的最小值，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数式的化简和函数图象平移的规律等知识点，属于中档题．