Question

已知函数f（x）满足（其中为f（x）在点处的导数，C为常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，求常数C．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后将代入即可求出f'（），从而求出f（x）的解析式，求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确单调区间；
（2）根据第一问可求出函数f（x）的极大值与极小值，方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0，即可求出常数C的值．
解答：解：（1）由，得．
取，得，解之，得，
∴f（x）=x³-x²-x+C．（2分）
从而，
列表如下：

∴f（x）的单调递增区间是和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是．
（2）由（1）知，；
[f（x）]_极小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0．
∴常数或C=1．
点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．